如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，
AB＝BC=
，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．
（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？
（2）设AF=1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．
如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，
AB＝BC=，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．
（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？
（2）设AF=1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．
【解】 （1）因为直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠ABC＝
．
以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.
因为AC＝2，∠ABC＝90º，所以AB＝BC＝，
从而B(0，0，0)，A
，C
，B1(0，0，3)，A1
，C1
，D
，E
．
所以
，
设AF＝x，则F(，0，x)，
.
，所以
要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F.
由
＝2＋x（x－3）＝0，得x＝1或x＝2，
故当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF．……………… 5分
（2）由（1）知平面ABC的法向量为n1=（0，0，1）.
设平面B1CF的法向量为
，则由
得
令z=1得
，
所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值