如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为
的椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．
如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】，（1）设
，由于直线PQ斜率为
时，
，可得
，解得
，代入椭圆方程可得：
，又
，联立解得即可．
（2）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程可得
．由直线PA方程为：
，可得
，同理由直线QA方程可得
，可得以MN为直径的圆为
，由于
，代入整理即可得出．
【解答】解：（1）设
，
∵直线PQ斜率为
时，
，
∴
，
∴，
=1，
∴
，
∵
，化为a2=2b2．
联立
，
∴a2=4，b2=2．
∴椭圆C的标准方程为
．
（2）以MN为直径的圆过定点
．下面给出证明：
设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且
，即
，
∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：
，
∴
，
直线QA方程为：
，
∴
，
以MN为直径的圆为
，
即
，
∵
，
∴
，
令y=0，x2+y2﹣2=0，解得
，
∴以MN为直径的圆过定点．
【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．