如图α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l上的射影为A1，点B在l上的射

（1）直线AB分别与平面α,β所成角的大小；

（2）二面角A₁—AB—B₁的大小.

解法一：（1）如下图，连结A₁B、AB₁.



∵α⊥β,α∩β=l,AA₁⊥l,BB₁⊥l,∴AA₁⊥β,BB₁⊥l,则∠BAB₁、∠ABA₁分别是AB与α和β所成的角.

Rt△BB₁A中，BB₁=，AB=2.

∴sin∠BAB₁==,∴∠BAB₁=45°.

Rt△AA₁B中，AA₁=1，AB=2.

∴sin∠ABA₁==，∴∠ABA₁=30°.

故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.

(2)∵BB₁⊥α,

∴平面ABB₁⊥α,在平面α内过Α₁，作A₁E⊥AB₁，交AB₁于E，则A₁E⊥平面AB₁B.过E作EF⊥AB交AB于F，连接A₁F，则由三垂线定理得A₁F⊥AB.

∴∠A₁FE就是所求二面角的平面角.

在Rt△ABB₁中 ,∠BAB₁=45°,

∴AB₁=B₁B=.

∴Rt△AA₁B₁中,AA₁=A₁B₁=1.

∴A₁E=AB₁=.

在Rt△AA₁B中，==.

由AA₁·A₁B=A₁F·AB得

A₁F===,

∴在Rt△A₁EF中，sin∠A₁FE==.

∴二面角A₁—AB—B₁的大小为arcsin.

解法二：（1）同解法一.

 (2)如右图，建立坐标系，则A₁（0，0，0），A（0，0，1），B₁（0，1，0），B（2，1，0）.在AB上取一点F（x,y，z），则存在t∈R,使得=t.



即（x,y,z-1）=t(,1,-1),∴点F的坐标为（t,t,1-t）.

要使⊥，须·=0，

即（t,t,1-t）·（，1，-1）=0，

2t+t-(1-t)=0,解得t=,∴点F的坐标为（，，）.

∴=(,  , ).

设E为AB₁的中点，则点E的坐标为（0，，）.

∴=(,-,).

又EF·AB=（，-，）·（，1，-1）=--=0，

∴EF⊥AB.

∴∠A₁FE为所求二面角的平面角.

又cos∠A₁FE=

=

===.

∴二面角A₁—AB—B₁的大小为arccos.