（08年山东卷理）(本小题满分12分)
如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，
,E，F分别是BC, PC的中点.
（Ⅰ）证明：AE⊥PD;
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为
，求二面角E―AF―C的余弦值.
（08年山东卷理）(本小题满分12分)
如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.
（Ⅰ）证明：AE⊥PD;
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E―AF―C的余弦值.
【解析】（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.
又BC∥AD，因此AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD，AE
平面ABCD，所以PA⊥AE.
而PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.
所以 AE⊥PD.
（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.
由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.
在Rt△EAH中，AE=
，
所以 当AH最短时，∠EHA最大，
即 当AH⊥PD时，∠EHA最大.
此时tan∠EHA=
因此AH=
.又AD=2，所以∠ADH=45°，
所以 PA=2.
解法一：因为PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD.
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，
过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，
在Rt△AOE中，EO=AE・sin30°=
，AO=AE・cos30°=
,
又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO・sin45°=
,
又 
在Rt△ESO中，cos∠ESO=
即所求二面角的余弦值为
解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以
E、F分别为BC、PC的中点，所以
A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（
），
所以 
设平面AEF的一法向量为
则
因此
取
因为 BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
所以 BD⊥平面AFC，
故 
为平面AFC的一法向量.
又 =（-
），
所以 cos＜m, 
因为二面角E-AF-C为锐角，
所以所求二面角的余弦值为
