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四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD，证明无论四棱锥

四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD，证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°.

答案

证明：以B为坐标原点，BC、BA、BP分别为x轴，y轴,z轴建立空间直角坐标系，设P（0，0，b）,因为=（a,0,-b）, =(a,a,-b)，设n

1=(x,y,z) 是平面PAD的一个法向量，则n1·=ay-bz=0,n1·=ax+ay-bz=0,令z=a得n1=(0,b,a).设n2=(x1,y1,z1)是平面PCD的一个法向量，则n2·=ax1-bz1=0,n2·=ax1+ay1-bz1=0,解之得n2=(-b,0,-a),而n1·n2=-a2＜0,所以，cosθ＜0，即无论四棱锥的高怎样变化,平面PAD与平面PCD所成的二面角θ恒大于90°.

 

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