=1(a、b＞0)的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且x=4为它的右准线.(1)求椭圆的方程;
(2)设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N,证明点B在以MN为直径的圆内.
(文)已知数列{an}中,a1=
,an=2
(n≥2,n∈N
(n∈N*).(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}中的最大项与最小项,并说明理由.
=1(a、b＞0)的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且x=4为它的右准线.(1)求椭圆的方程;
(2)设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N,证明点B在以MN为直径的圆内.
(文)已知数列{an}中,a1=,an=2(n≥2,n∈N
(n∈N*).(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}中的最大项与最小项,并说明理由.
答案：
(理)解：(1)依题意得a=2c,=4,解得a=2,c=1,从而b=. 
故椭圆的方程为=1.
(2)解法一:由(1)得A(-2,0),B(2,0).设M(x0,y0),∵M点在椭圆上,∴y02=
(4-x02).①
又点M异于顶点A、B,∴-2＜x0＜2,由P、A、M三点共线可得P(4,
).
从而
=(x0-2,y0),
=(2,
).
∴
=2x0-4+
(x02-4+3y02).②
将①代入②,化简得
=
(2-x0).
∵2-x0＞0,∴
＞0,则∠MBP为锐角,从而∠MBN为钝角,故点B在以MN为直径的圆内.
解法二:由(1)得A(-2,0),B(2,0).设M(x1,y1),N(x2,y2),则-2＜x1＜2,-2＜x2＜2,又MN的中点Q的坐标为(
),
依题意,计算点B到圆心Q的距离与半径的差:|BQ|2-
|MN|2=(
-2)2+(
)2-
［(x1-x2)2+(y1-y2)2］=(x1-2)(x2-2)+y1y2,③
又直线AP的方程为y=
(x+2),直线BP的方程为y=
(x-2),而两直线AP与BP的交点P在准线x=4上,∴
,即y2=
.④
又点M在椭圆上,则
=1,即y12=
(4-x12).⑤
于是将④⑤代入③,化简后可得|BQ|2-
|MN|2=
(2-x1)(x2-2)＜0.
从而,点B在以MN为直径的圆内.
(文)(1)证明:bn=
,
而bn-1=
,
∴bn-bn-1=
=1(n∈N
∴{bn}是首项为b1=
=-
,公差为1的等差数列.
(2)解：
依题意有an-1=
,而bn=-
+(n-1)·1=n-3.5,∴an-1=
. 函数y=
在(3.5,+∞)上为减函数,在(-∞,3.5)上也为减函数.
故当n=4时,an=1+
取最大值3,n=3时,取最小值-1.