,求二面角APBC的余弦值. 
,求二面角APBC的余弦值. 
解法一
:如图所示,取PB的中点D,连结CD.∵PC=BC=
,∴CD⊥PB.
∴作 AE⊥PB于E,那么二面角APBC的大小就等于异面直线DC与EA所成的角θ的大小.
∵PD=1,PE=
,
∴DE=PD-PE=
.
又∵AE=
CD=1,AC=1,
∴
cos(π-θ),
即1=
+1-2·
·1·cosθ,
解得cosθ=
.
故二面角APBC的余弦值为
.
解法二
:由解法一可知,向量
的夹角的大小就是二面角APBC的大小,如上图,建立空间直角坐标系C—xyz,则A(1,0,0),B(0,
,0),C(0,0,0),P(1,0,1),D为PB的中点,D(
).∴
,即E分
的比为
.
∴E(
),
∴
故二面角APBC的余弦值为
.
解法三
:如图所示建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(
,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), 
=(0,0,1), 
=(
,1,0),
=(2,0,0),
=(0,-1,1),设平面PAB的法向量为m
=(x,y,z),则
令x=1,则m
=(1,-
,0).设平面PBC的法向量为n
=(x′,y′,z′),则
令y′=-1,则n
=(0,-1,-1),∴cos〈m
,n〉=
∴二面角APBC的余弦值为
.
绿色通道：
(1)求二面角的大小,可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量,转化为这两向量的夹角,但应注意两向量的始点应在二面角的棱上.
(2)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时,用向量法解较为简捷、明快.用法向量求二面角的大小时,有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补),但我们完全可以根据图形观察得到结论,这是因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.