在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （1）由椭圆的离心率得到a²=3b²，设出椭圆上点P的坐标，写出点到直线的距离，然后对b分类求出|PQ|的最大值，由最大值等于3求解b的值，进一步得到a的值，则椭圆方程可求；

（2）求出圆心到直线l的距离，由勾股定理得到弦长，代入三角形的面积公式，把面积用含有d的代数式表示，配方后求出面积的最大值并求得使面积最大时的d值，从而得到m，n的值，则点M的坐标可求．

解答： 解：（1）∵，

∴，于是a²=3b²．

设椭圆C上任一点P（x，y），

则（﹣b≤y≤b）．

当0＜b＜1时，|PQ|²在y=﹣b时取到最大值，且最大值为b²+4b+4，

由b²+4b+4=9解得b=1，与假设0＜b＜1不符合，舍去．

当b≥1时，|PQ|²在y=﹣1时取到最大值，且最大值为3b²+6，

由3b²+6=9解得b²=1．于是a²=3，椭圆C的方程是．

（2）圆心到直线l的距离为，弦长，

∴△OAB的面积为，

于是．

而M（m，n）是椭圆上的点，

∴，即m²=3﹣3n²，

于是，而﹣1≤n≤1，

∴0≤n²≤1，1≤3﹣2n²≤3，

∴，

于是当时，S²取到最大值，此时S取到最大值，

此时，．

综上所述，椭圆上存在四个点、、、，

使得直线与圆相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大，且最大值为．