如图1，已知抛物线的方程C1：
(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
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如图1，已知抛物线的方程C1： (m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
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解：(1)m=4………………………………2分
(2):B(-2,0)C(4,0)E(0,2)
………… …………5分
（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．
设对称轴与x轴的交点为P，那么
．
因此
．解得
．所以点H的坐标为
．…………………8分
（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．
由于∠BCE＝∠FBC，所以当
，即
时，△BCE∽△FBC．
设点F的坐标为
，由
，得
．
解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．
由
，得
．所以
．
由，得
．
整理，得0＝16．此方程无解．………………10分
图2 图3 图4
②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，
由于∠EBC＝∠CBF，所以
，即
时，△BCE∽△BFC．
在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得
．
解得x＝2m．所以F′
．所以BF′＝2m＋2，
．
由，得
．解
得
．
综合①、②，符合题意的m为
．