如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，且

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，且直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）当的面积最大时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

（1）；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）.

【解析】

（1）根据直线求出点B和点D坐标，再根据C和D之间的关系求出点C坐标，最后运用待定系数法求出抛物线表达式；

（2）设点P坐标为（m，0），表示出M和N的坐标，再利用三角形面积求法得出S_△BMD=，再求最值即可；

（3）分当∠QMN=90°时，当∠QNM=90°时，当∠MQN=90°时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质，分别求解即可.

【详解】

解：（1）∵直线过点B，点B在x轴上，

令y=0，解得x=6，令x=0，解得y=-6，

∴B（6，0），D（0，-6），

∵点C和点D关于x轴对称，

∴C（0，6），

∵抛物线经过点B和点C，代入，

，解得：，

∴抛物线的表达式为：；

（2）设点P坐标为（m，0），

则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，m-6），

∴MN=-m+6=，

∴S_△BMD=S_△MNB+S_△MND

=

=

=-3（m-2）²+48

当m=2时，S_△BMD最大=48，

此时点P的坐标为（2，0）；

（3）存在，

由（2）可得：M（2，12），N（2，-4），

设点Q的坐标为（0，n），

当∠QMN=90°时，即QM⊥MN，如图，

可得，此时点Q和点M的纵坐标相等，

即Q（0，12）；

当∠QNM=90°时，即QN⊥MN，如图，

可得，此时点Q和点N的纵坐标相等，

即Q（0，-4）；

当∠MQN=90°时，MQ⊥NQ，如图，

分别过点M和N作y轴的垂线，垂足为E和F，

∵∠MQN=90°，

∴∠MQE+∠NQF=90°，又∠MQE+∠QME=90°，

∴∠NQF=∠QME，

∴△MEQ∽△QFN，

∴，即，

解得：n=或，

∴点Q（0，）或（0，），

综上：点Q的坐标为（0，12）或（0，-4）或（0，）或（0，）.

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，解一元二次方程，解题时要注意数形结合，分类讨论思想的运用.