已知
是过点
的两条互相垂直的直线，且
与双曲线
各有两个交点,分别为A1、B1和A2、B2.
(Ⅰ)求l1的斜率k1的取值范围;
(Ⅱ)若A1恰是双曲线的一个顶点,求│A2B2│的值.
已知是过点的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两个交点,分别为A1、B1和A2、B2.
(Ⅰ)求l1的斜率k1的取值范围;
(Ⅱ)若A1恰是双曲线的一个顶点,求│A2B2│的值.
解（Ⅰ）依照设，
得斜率都存在，因为
过点
且与双曲线有两个交点,故方程组
①
有两个不同的解，在方程组①中消去
整理得
②
若
方程组①只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾。故
即
方程②的判别式为
设的斜率为
因为
过点
且与双曲线有两个交点，故方程组
③
有两个不同的解,在方程组③中消去y, 整理得
同理有④
又因为l1⊥l2,所以有k1・k2=-1于是,l1、l2与双曲线各有两个交点,等价于
解得
∴
(Ⅱ)双曲线y2-x2=1的顶点为(0,1)、(0,-1).取A1(0,1)时,有
解得
从而
将
代人方程④得
记l2与双曲线的两交点为A2(x1,y1)、B2(x2,y2),则
│A2B2│2 =(x1-x2)2+(y1-y2)2=3(x1-x2)2=3[(x1+x2)2-4x1x2].
由知
∴
即
当取A1(0,-1)时,由双曲线y2-x2=1关于x轴的对称性,知
所以L1过双曲线的一个顶点时，