如图,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AA1,E是棱BB1上的点,且平面A1EC⊥平面AA1

(1)试确定点E的位置;

(2)若把平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”,请判断此棱柱是否为“黄金棱柱”,并说明理由.

解法一:(1)连结AC₁交A₁C于点O,连结AE、EC.

由于AB=AA₁,三棱柱ABC—A₁B₁C₁为正三棱柱,

∴四边形AA₁C₁C为正方形.∴AO⊥A₁C.

∵平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C且平面A₁EC∩平面AA₁C₁C=A₁C,

∴AO⊥平面A₁EC.∴AO⊥OE.                                             

在△AEC₁中,AE=EC₁,

即.

而AB=B₁C₁,

∴BE=B₁E,即点E为棱BB₁的中点.                                         

(2)延长CE交C₁B₁的延长线于F,连结A₁F,

而B₁E∥C₁C,

∴=.

∴FB₁=B₁C₁.

∴FB₁=B₁C₁=A₁B₁.

∴FA₁⊥A₁C₁.                                                            

∵面AA₁C₁C⊥面A₁B₁C₁,面AA₁C₁C∩面A₁B₁C₁=A₁C₁,

∴FA₁⊥面AA₁C₁C.

∴FA₁⊥CA₁，FA₁⊥C₁A₁.

∴∠CA₁C₁就是二面角CA₁FC₁的平面角.                                     

而∠CA₁C₁=45°≠60°,

∴此三棱柱不是“黄金棱柱”.                                             

解法二:(1)如图建立空间直角坐标系,设AB=AA₁=a,B₁E=b,

则A₁(0,0,0)、B₁(,,0)、C₁(0,a,0)、E(a,,b)、C(0,a,a).                

∴=(a,,b),=(0,a,a).                                     

设平面A₁EC的法向量为m=(x,y,z),则

∴可取m=(,-1,1).                                                   

显然平面A₁C₁CA的法向量可取为n=(1,0,0).

由题意,平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C,

∴m⊥n.∴m·n=0,即=0,b=.

∴点E为BB₁的中点.                                                    

(2)由(1)知,m=(0,-1,1),显然平面A₁B₁C₁的法向量可取为l=(0,0,1),

∴cos〈m,l〉=.                                         

∴〈m,l〉=45°.

∴平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成的锐二面角为45°,即此三棱柱不是“黄金棱柱”.