已知函数f(x)=ax-1-ln x(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若函数f(x)在x=1

已知函数f(x)=ax-1-ln x(a∈R).

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)若函数f(x)在x=1处取得极值,不等式f(x)≥bx-2对∀x∈(0,

+∞)恒成立,求实数b的取值范围;

(3)当x>y>e-1时,证明不等式e^xln(1+y)>e^yln(1+x).

 (1)解:函数的定义域是(0,+∞),

且f′(x)=a-=.

当a≤0时,ax-1<0,从而f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;

当a>0时,若0<x<,则ax-1<0,从而f′(x)<0;

若x≥,则ax-1≥0,从而f′(x)≥0,

所以函数f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.

(2)解:由(1)可知,函数的极值点是x=,

所以=1,则a=1.

若f(x)≥bx-2在(0,+∞)上恒成立,即x-1-ln x≥bx-2在(0,+∞)上恒成立,只需b≤1+-在(0,+∞)上恒成立.

令g(x)=-,则g′(x)=--+=.

易知x=e²为函数g(x)在(0,+∞)内唯一的极小值点,也是最小值点,故[g(x)]_min=g(e²)=-,即(1+-)_min=1-,故只要b≤1-即可.

所以b的取值范围是(-∞,1-].

(3)证明:由题意可知,要证不等式e^xln(1+y)>e^yln(1+x)成立,只需证>.

构造函数h(x)=,则h′(x)==,h′(x)在(e,+∞)上单调递增,

h′(x)>h′(e)>0,

则h(x)在(e,+∞)上单调递增.

由于x>y>e-1,所以x+1>y+1>e,

所以>,

即e^xln(1+y)>e^yln(1+x).