思路分析：将I平方可得出a、b、c两两积及a2、b2、c2和的式子，比较已知条件和结论，易采用分析法.
证明：由I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a2+b2+c2+2S,
故要证3S≤I2＜4S,
只需证3S≤a2+b2+c2+2S＜4S,
即S≤a2+b2+c2＜2S(这对于保证结论成立是充分必要的).
欲证上式左部分，只需证a2+b2+c2-ab-bc-ca≥0，即只需证(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ca)≥0(这对于保证前一式结论成立也是充要的).
要证上式成立，可证三括号中式子都不为负(这一条件对保证上结论成立是充分的，但它并不必要)，注意到：a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,b2+c2-2bc=(b-c)2≥0,c2+a2-2ca=(c-a)2≥0,故结论真.
欲证上式右部分，只需证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca＜0,
即要证(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)＜0.
欲证上式，则至少要证以上三个括号中式子之一小于零(这一条件对保证上结论成立只是必要的，但它并不充分)，即要证a2＜ab+ac,b2＜bc+ba,c2＜ca+cb之一真.也就是要证a＜b+c,b＜c+a,c＜a+b之一真，它们显然都成立，因为三角形一边小于其他两边和.故结论为真.
故原不等式为真.