如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD

如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于_____（结果保留根号）．

【解析】

【分析】

如图，过点F作FH⊥AE交AE于H，过点C作CM⊥AB交AB于M，根据等边三角形的性质可求出AB的长，根据相似三角形的性质可得△ADE是等边三角形，可得出AE的长，根据角的和差关系可得∠EAF=∠BAD=45°，设AH＝HF＝x，利用∠EFH的正确可用x表示出EH的长，根据AE=EH+AH列方程可求出x的值，根据三角形面积公式即可得答案．

【详解】

如图，过点F作FH⊥AE交AE于H，过点C作CM⊥AB交AB于M，

∵△ABC是面积为的等边三角形，CM⊥AB，

∴×AB×CM＝，∠BCM＝30°，BM=AB，BC=AB，

∴CM==，

∴×AB×＝，

解得：AB＝2，（负值舍去）

∵△ABC∽△ADE，△ABC是等边三角形，

∴△ADE是等边三角形，∠CAB=∠EAD=60°，∠E=60°，

∴∠EAF+∠FAD=∠FAD+BAD=60°，

∵∠BAD=45°，

∴∠EAF＝∠BAD＝45°，

∵FH⊥AE，

∴∠AFH＝45°，∠EFH＝30°，

∴AH＝HF，

设AH＝HF＝x，则EH＝xtan30°＝x．

∵AB=2AD，AD=AE，

∴AE＝AB＝1，

∴x+x＝1，

解得x＝．

∴S_△AEF＝×1×＝．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，根据相似三角形的性质得出△ADE是等边三角形、熟练掌握等边三角形的性质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．