(1)求m与n的关系式;
(2)求f(x)的单调区间(用m表示);
(3)当x∈［-1,1］时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.
(1)求m与n的关系式;
(2)求f(x)的单调区间(用m表示);
(3)当x∈［-1,1］时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.
解：
(1)f′(x)=3mx2-6(m+1)x+n,因为x=1是f(x)的一个极值点,所以f′(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0.所以n=3m+6.
(2)由(1)知,f′(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)［x-(1+
)］,
当m＜0时,有1＞1+
,当x变化时,f(x)与f′(x)的变化如下表:
x | (-∞,1+ | 1+ | (1+ | 1 | (1,+∞) |
f′(x) | - | 0 | + | 0 | - |
f(x) | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
所以,当m＜0时,f(x)在(-∞,1+
)上单调递减,在(1+
,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
(3)由已知得f′(x)＞3m,即mx2-2(m+1)x+2＞0.又m＜0,所以x2-
(m+1)x+
＜0,x∈［-1,1］.①
设g(x)=x2-2(1+
)x+
,其图象抛物线开口向上,①式恒成立的充要条件是
即
解得-
＜m＜0.所以m的取值范围是(-
,0).
)
,1)