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已知抛物线x2=4p(y-p)(p＞0)和直线x-y+n-1=0,求证:n依次取1、2、3、…时,直

已知抛物线x2=4p(y-p)(p＞0)和直线x-y+n-1=0,求证:n依次取1、2、3、…时,直线截抛物线所得弦长|AnBn|的平方组成的数列是一个等差数列(其中p为定值）.

答案

证明:设直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),

由

得x2-4px-4p(n-1-p)=0,∴x1+x2=4p,x1·x2=-4p(n-1-p),

(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=16p(n-1),(y1-y2)2=(x1-x2)2.

∴|AnBn|2=2(x1-x2)2=32p(n-1).

∴|An+1Bn+1|2-|AnBn|2=32pn-32p(n-1)=32p(定值).

∴{|AnBn|2}是一个等差数列.

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