已知函数
.
（1）若
在区间
上不是单调函数，求实数
的范围；
（2）若对任意
，都有
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）当
时，设
，对任意给定的正实数，曲线
上是否存在两点
，使得
是以
（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在
轴上？请说明理由.
已知函数.
（1）若在区间上不是单调函数，求实数的范围；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由.
（1）由得，因在区间上不是单调函数.
所以在上最大值大于0，最小值小于0,
,
，.
(2)由，得,
，且等号不能同时取，，即.
恒成立，即.
令，求导得,
当时，，从而.
在上是增函数，.
.
(3)由条件，,
假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧,
不妨设，则，且,
是以为直角顶点的直角三角形，,
是否存在等价于方程在且是否有解.
①当时，方程为
，化简，此方程无解；
②当时，方程为，即
设，则,
显然，当时，，即在上为增函数.
的值域为，即，当时，方程总有解.
对任意给定的正实数，曲线上存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上.