已知
．
（Ⅰ）判断
在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若在
上的最小值为
，求
的值；
（III）若
在
上恒成立，试求的取值范围．
已知．
（Ⅰ）判断在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若在上的最小值为，求的值；
（III）若在上恒成立，试求的取值范围．
解：（Ⅰ）的定义域为
…………………………1分
当
时，
∴
因此在定义域上为单调递增函数．……………………2分
当
时，则
，
；
，；
此时，在
上为单调递增函数，在
上为单调递增函数．…………4分
（Ⅱ）（1）令
在上恒成立，即
∴
．
令
，此时在上为增函数．
∴
，
得
（舍去）．…………………………6分
（2）令
在上恒成立，即
∴
．
令
，此时在上为减函数．
∴
，
得
（舍去）．…………………………8分
（3）当时，令
，得
．
当
时，，∴在
上为减函数．
当
时，，∴在
上为增函数．
∴
得
．
综上可知，．…………………………10分
（III）由，得
，
∵
，∴有
，
令
，则
．…………………………12分
令
，则
，
∵，∴
，∴
在上单调递减，
∴
，
因此
，故
在上单调递减，…………………………14分
则
，
∴的取值范围是
．