(Ⅰ)若函数y=f(x)的切线斜率的最小值为1，求实数a的值；
(Ⅱ)若两个函数图像有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
(Ⅰ)若函数y=f(x)的切线斜率的最小值为1，求实数a的值；
(Ⅱ)若两个函数图像有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
解：
(Ⅰ)y=f(x)=2x3-3(a-1)x2+4x+6a求导数得f′(x)=6x2-6(a-1)x+4(2分)
≥
=4-
(a-1)2=1
∴(a-1)2=2，∴a=±
+1
(Ⅱ)∵g(x)=4x+6的图像是一直线
因此两个函数图像的公共点的个数取决于方程f(x)=g(x)的解的个数
所以只需研究函数m(x)=f(x)-g(x)图像与x轴关系．
由m(x)=2x3-3(a-1)x2+6(a-1)求导数得
m′(x)=6x2-6(a-1)x=6x[x-(a-1)]
(ⅰ)在a=1时，m′(x)=6x2≥0，m(x)在R
上单调递增，则m(x)与x轴只有一个交点
(ⅱ)在a≠1时，m′(x)=0有两根x1=0，x2=a-1，
即为y=m(x)的两个极值点．
m(x1)=m(0)=6(a-1)
m(x2)=m(a-1)=-(a-1)3+6(a-1)=(a-1)[6-(a-1)2]
y=m(x)与x轴只有一个交点，则需m(x1)m(x2)＞0
∴6(a-1)(a-1)[6-(a-1)2]＞0(a≠1)
∴(a2-1)2-6＜0有1-
＜a＜1+
且a≠1
由(ⅰ)(ⅱ)可知所求a范围为(1-
，1+
).