设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件： ①当x∈R时，

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：

①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立；

②当x∈（0，5）时，2x≤f（x）≤4|x﹣1|+2恒成立．

（1）求f（1）的值；

（2）求f（x）的解析式；

（3）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤2x成立．

考点： 二次函数的性质．

专题： 函数的性质及应用．

分析： （1）由当x∈（0，5）时，2x≤f（x）≤4|x﹣1|+2恒成立，令x=1，可得f（1）=2，

（2）由①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立，及f（x）的最小值为0，结合（1）中f（1）=2，可得函数的解析式，

（3）若当x∈[1，m]时，f（x+t）≤2x成立．则当x∈[1，m]时，（x+t+1）²≤2x成立．即x²+（2t﹣2）x+t²+2t+1≤0成立，令g（x）=x²+（2t﹣2）x+t²+2t+1，则，解不等式组可求出m的取值范围．

解答： 解：（1）∵当x∈（0，5）时，2x≤f（x）≤4|x﹣1|+2恒成立，

令x=1，则2≤f（1）≤2，

∴f（1）=2，

（2）∵①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立，

∴函数f（x）=ax²+bx+c的图象开口朝上，且以直线x=﹣1为对称轴，

又∵f（x）的最小值为0，

∴f（x）=a（x+1）²，

由（1）中f（1）=2，

∴a=，

∴f（x）=（x+1）²，

（3）∵当x∈[1，m]时，f（x+t）≤2x成立．

∴当x∈[1，m]时，（x+t+1）²≤2x成立．

即x²+（2t﹣2）x+t²+2t+1≤0成立，

令g（x）=x²+（2t﹣2）x+t²+2t+1，

则，即，

解得：，

∴≤=9，

即实数m的最大值为9．

点评： 本题考查的知识点是二次函数解析式的求法，抽象函数，函数恒成立问题，难度中档．