如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A

如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜边上的中点．

如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm²)（不考虑点P与G、F重合的情况）．

（1）当x为何值时，OP∥AC ?

（2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．

（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，

求出x的值；若不存在，说明理由．

（参考数据：114² ＝12996，115² ＝13225，116² ＝13456，或4.4² ＝19.36，4.5² ＝20.25，4.6² ＝21.16）

解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC ，

∴， ．∴FG＝＝3cm．

∵当P为FG的中点时，OP∥EG ，EG∥AC ，∴OP∥AC．

∴ x ＝＝×3＝1.5（s）．∴当x为1.5s时，OP∥AC

（2）在Rt△EFG 中，由勾股定理得：EF ＝5cm．

∵EG∥AH ，∴△EFG∽△AFH ．

∴．∴

∴

过点O作OD⊥FP ，垂足为 D ．

∵FP＝3－x ，

∴S_{四边形OAHP} ＝S_△AFH －S_△OFP

＝・AH・FH－・OD・FP

＝

＝

（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24．

则S_{四边形OAHP}＝×S_△ABC    ∴

∴6x²＋85x－250＝0

解得 x₁＝， x₂＝ （舍去）．

∵0＜x＜3，

∴当x＝ 时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24