正方形ABCD的边长为4
，M为BC的中点，以MC为边在正方形ABCD内部作正方形CMNE（如图1），将正方形CMNE绕C点顺时针旋转α（0°≤α≤360°），连接BM、DE．
（1）如图2，试判断BM、DE的关系，并证明；
（2）连接BE，在正方形CMNE绕C点顺时针旋转过程中，若M点在直线BE上时，求BM的长．
（3）如图3，设直线BM与直线DE的交点为P，当正方形CMNE从图1的位置开始，顺时针旋转180°后，直接写出P点运动路径长为 ．
正方形ABCD的边长为4，M为BC的中点，以MC为边在正方形ABCD内部作正方形CMNE（如图1），将正方形CMNE绕C点顺时针旋转α（0°≤α≤360°），连接BM、DE．
（1）如图2，试判断BM、DE的关系，并证明；
（2）连接BE，在正方形CMNE绕C点顺时针旋转过程中，若M点在直线BE上时，求BM的长．
（3）如图3，设直线BM与直线DE的交点为P，当正方形CMNE从图1的位置开始，顺时针旋转180°后，直接写出P点运动路径长为 ．
【考点】四边形综合题；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质．
【分析】（1）根据正方形的性质以及旋转的性质，判定△BCM≌△DCE（SAS），得出∴BM=DE，再延长BM交DE于F，交DC于G，根据三角形内角和的定理以及对顶角相等，得出BM⊥DE即可；
（2）在正方形CMNE绕C点顺时针旋转过程中，若M点在直线BE上时，需要分两种情况进行讨论，运用勾股定理求得NE和BH的长，进而得到BM的长；
（3）当正方形CMNE旋转到点B、M、N在一条直线上时，点P到达最高点，连结CN，NN'，CN'，根据△CN'N是等边三角形，求得弧CP的长；再根据当正方形CMNE从图4所示的位置，继续顺时针旋转180°后，直线BM与直线DE的交点P从图4所示的位置回到点C与点C重合，据此得出P点运动路径长．
【解答】解：（1）BM=DE，BM⊥DE．
理由：∵正方形CMNE绕C点顺时针旋转α，
∴∠MCB=∠ECD=α，CM=CE．
∵ABCD是正方形，
∴BC=CD．
在△BCM和△DCE中，
，
∴△BCM≌△DCE（SAS），
∴BM=DE，
如图，延长BM交DE于F，交DC于G，
∵△BCM≌△DCE，
∴∠CBM=∠CDE，
又∵∠BGC=∠DGF，
∴∠BCG=∠DFG，
∵BC⊥CD，
∴BM⊥DE；
（2）情况①，如图，过点C作CH⊥BE于点H．
∵正方形ABCD的边长为4
，
∴CM=CE=2
．
∴在Rt△MCE中，由勾股定理，得ME=
=4，
∴MH=EH=2，
∴CH=2．
在Rt△BHC中，BH=
=2
，
∴BM=2
﹣2；
情况②，如图，过点C作CH⊥BE'于点H．
∵正方形ABCD的边长为4
，
∴CM=CE=2
．
∴在Rt△MCE中，由勾股定理得ME=4，
∴MH=EH=2，
∴CH=2．
在Rt△BHC中，BH=
=2，
∴BM=2
+2；
（3）如图，当正方形CMNE旋转到点B、M、N在一条直线上时，点P到达最高点，连结CN，NN'，CN'．
∵正方形ABCD的边长为4，M为BC的中点，
∴CM'=CM=2
．
∴∠M'BC=30°，
∴∠BCM'=60°，
由旋转得∠NCN'=60°，NC=N'C，
∴△CN'N是等边三角形，
∴∠CNN'=60°，
∴弧CP的长为
=
，
如图，当正方形CMNE从图4所示的位置，继续顺时针旋转180°后，直线BM与直线DE的交点P从图4所示的位置回到点C的位置，
∴点P的运动路径长为
×2=
．
故答案为．