已知数列{an}的首项是A1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*).
(1)证明数列{an+1}是等比数列;
(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f′(1),并比较2f′(1)与23n2-13n的大小.
已知数列{an}的首项是A1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*).
(1)证明数列{an+1}是等比数列;
(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f′(1),并比较2f′(1)与23n2-13n的大小.
解析:(1)利用an与Sn的关系求出an+1 =2an+1,变形成a n+1+1=2(an+1),所以{an+1}是等比数列.(2)求导,作差,因式分解分类讨论.
(1)证明:由已知Sn+1=2Sn+n+5.
所以n≥2时,Sn=2Sn-1+n+4.
两式相减,得
Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,
即an+1=2an+1,从而an+1+1=2(an+1).
当n=1时,S2=2S1+1+5,所以a1+a2=2a1+6.
又a1=5,所以a2=11.从而a2+1=2(a1+1).
故总有an+1+1=2(an+1),n∈N*.
又因为a1=5,所以an+1≠0,从而
=2,
即{an+1}是以a1+1=6为首项,2为公比的等比数列.
(2)解析:可知2f′(1)-(23n2-13n)=12(n-1)·2n-12(2n2-n-1)=12(n-1)·2n-12(n-1)(2n+1)=12(n-1)［2n-(2n+1)］.(*)
当n=1时,(*)式=0,所以2f′(1)=23n2-13n;
当n=2时,(*)式=-12＜0,所以2f′(1)＜23n2-13n;
当n≥3时,n-1＞0.又2n=(1+1)n=C0n+C1n+…+Cn-1n+Cnn≥2n+2＞2n+1,所以(n-1)［2n-(2n+1)］＞0,即(*)式＞0.从而2f′(1)＞23n2-13n.
用二项式定理证明(2)难度不大,但在特定的解题过程中,想到利用二项式定理来证明,这个念头难得.