（本小题满分12分）
在四棱锥
中，
平面
，底面为矩形，
.
（I）当
时，求证：
；
（II）若
边上有且只有一个点
，使得
，求此时二面角
的余弦值.
（本小题满分12分）
在四棱锥中，平面，底面为矩形，.
（I）当时，求证：；
（II）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.
（I）略（II）
（I）当
时，底面
为正方形，
又因为
,
面
…………………………2分
又
面
…………………………3分
（II）因为
两两垂直，分别以它们所在直线为
轴、
轴、
轴建立坐标系，如图所示，令
，可得
则
…………………4分
设
，则
要使
，只要
即
………6分
由
，此时
。
所以
边上有且只有一个点
，使得时，
为的中点，且
…………………………8分
设面
的法向量
则
即
解得
…………………………10分
取平面
的法向量
则
的大小与二面角
的大小相等
所以
因此二面角的余弦值为…………………………12分