(1)求证:直线MN∥平面PBC;
(2)求直线MN与平面ABCD所成的角.
(1)求证:直线MN∥平面PBC;
(2)求直线MN与平面ABCD所成的角.
(1)证明:∵P—ABCD是正四棱锥,
∴ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E,连结PE.
∵AD∥BC,
∴EN∶AN=BN∶ND.
又∵BN∶ND=PM∶MA,∴EN∶AN=PM∶MA.
∴MN∥PE.
又∵PE在平面PBC内,∴MN∥平面PBC.
(2)解:由(1)知MN∥PE,
∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角.
设点P在底面ABCD上的射影为O,连结OE,则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角.
由正棱锥的性质知PO=
=
.
由(1)知,BE∶AD=BN∶ND=5∶8,∴BE=
.
在△PEB中,∠PBE=60°,PB=13,BE=
,
根据余弦定理,得PE=
.
在Rt△POE中,PO=
,PE=
,
∴sin∠PEO=
=
.
故MN与平面ABCD所成的角为arcsin
.