20、如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝
，AF＝1，
M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）求二面角A－DF－B的大小；
（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°.
20、如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，
M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）求二面角A－DF－B的大小；
（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°.
（1）记AC与BD的交点为O，连接OE，
∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE
∵OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE
（2）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连接BS，
∵AB⊥AF，AB⊥AD，AD∩AF=A，∴AB⊥平面ADF，
∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂线定理得BS⊥DF
∴∠BSA是二面角A﹣DF﹣B的平面角
在Rt△ASB中，AS=
=
，AB=
，
∴tan∠ASB=
，∠ASB=60°，∴二面角A﹣DF﹣B的大小为60°；
（3）如图设P（t，t，0）（0≤t≤），
则
=（﹣t，﹣t，1），
=（，0，0）
又∵，夹角为60°，∴
，
解之得t=
或t=
（舍去），
故点P为AC的中点时满足题意．
