.已知数列
的前
项和为
，且满足
，若不等式
对任意的正整数恒成立，则整数
的最大值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
.已知数列的前项和为，且满足，若不等式对任意的正整数恒成立，则整数的最大值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
B
【解析】
【分析】
由题意，根据数列数列满足
，得
，所以数列
表示首项
，公差为2的等差数列，求得
，又由恒成立，转化为
对任意的正整数恒成立，利用数列的单调性，求得当
时，
求得最大值，此时最大值为
，即可求解.
【详解】由题意，数列满足，则当
时，
，
两式相减可得
，
所以
，又由
，所以
，
即，所以数列表示首项，公差为2的等差数列，所以，
又由，即
，
即
，即
对任意
正整数恒成立，
即对任意的正整数恒成立，
设
，则
，
所以
，当时，求得最大值，此时最大值为，
所以
，即
，所以的最大整数为4，故选B.
【点睛】本题主要考查了数列的递推公式求数列的通项公式，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中根据数列的递推关系式，求得数列的通项公式，把不等式的恒成立问题转化为对任意的正整数恒成立是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.