(本题满分12分)已知过点
且斜率为1的直线
与直线
交于点
.
(1)求以
、
为焦点且过点的椭圆
的方程；
(2)设点
是椭圆上除长轴两端点外的任意一点，试问在
轴上是否存在两定点
、
使
得直线
、
的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点、
的坐标；若不存在，请说明理由．
(本题满分12分)已知过点且斜率为1的直线与直线
交于点.
(1)求以、为焦点且过点的椭圆的方程；
(2)设点是椭圆上除长轴两端点外的任意一点，试问在轴上是否存在两定点、使
得直线、的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点、
的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)
根据椭圆定义，得
所以
．又
，所以
．
所以椭圆
的方程为
． …………………(4分)
(2)假设存在两定点为
，使得对于椭圆上任意一点
(除长轴两端点)都有
(
为定值)，即
·
，
将
代入并整理得
…(＊)．
由题意，(＊)式对任意
恒成立，所以
，
解之得 
或
．
所以有且只有两定点
，使得
为定值
………(12分)