(1)证明D1E⊥A1D；
(2)若E为AB的中点，求异面直线AD1与EC所成的角；
(3)若二面角D1-EC-D为45°时，求EB的长．
(1)证明D1E⊥A1D；
(2)若E为AB的中点，求异面直线AD1与EC所成的角；
(3)若二面角D1-EC-D为45°时，求EB的长．
解：(1)证明：∵EA⊥平面AD1，而AD=AA1
∴A1D⊥AD1 ∴D1E⊥A1D
(2)设DC中点为F，易知AF∥EC，连结D1F
∴∠D1AF为异面直线AD1与CE所成的角
∵AB=2，AD=AA1=1，E、F为中点
∴AD1=AF=D1F=
∴∠D1AF=60° ∴AD1与CE所成的角为60°
(3)过D作DG⊥CE于C，连结D1G，∵D1D⊥平面DB
∴EC⊥D1C
∴∠D1GD为二面角Dl—EC—D的平面角，即∠D1GD=45°
故DG=D1D=1，易知△BCE∽△GDC
∴
向量法：
(1)以D为原点，DA为x轴建立空间坐标系，则D(0，0，0)，D1 (0，0，1)，E(1，x，0)，A1 (1，0，1)
∴
=(-1，0，-1)∴
=l×(-1)+x×0+(-1)×(-1)=0∴D1E⊥A1D
(2)∵E(1，1，0) C(0，2，0) A(1，0，0) D(0，0，1)
∴
=(-1，1，0)∴cos（
）=
∴AD1与EC所成的角为60°
(3)设E(1，2-x，0) C(0，2，0) D：(0，0，1)
∴
=(0，2，-1)设平面D1EC的一个法向量n=(a，b，c)
由n·
由n·
∴可取n=(x，1，2)，
∴cos(n
