图2-2-25
求证:(1)EF∥平面ABCD.
(2)平面ACD′∥平面A′BC′.
图2-2-25
求证:(1)EF∥平面ABCD.
(2)平面ACD′∥平面A′BC′.
思路分析
:对于第(1)问,证明直线与平面平行可以从线线平行入手,也可以从面面平行入手来证.而对于第(2)问,一般可以转化为线线平行.(1)证法一:(由线线平行证线面平行)
过点E、F分别作AB、BC的垂线EM、FN分别交AB、BC于点M、N,连结MN(如图2-2-26).
图2-2-26
∵BB′⊥平面ABCD,
∴BB′⊥AB,BB′⊥BC.
∴EM∥BB′,FN∥BB′.
∴EM∥FN.
∵AB′=BC′,B′E=C′F,∴AE=BF.
又∠B′AB=∠C′BC=45°,
∴Rt△AME≌Rt△BNF.
∴EM=FN.
∴四边形MNFE是平行四边形.
∴EF∥MN.
又MN
平面ABCD,
∴EF∥平面ABCD.
证法二:(由面面平行证线面平行)
过点E作EG∥AB交BB′于点G,连结GF(如图2-2-27).
图2-2-27
∴
.
∵B′E=C′F,B′A=C′B,
∴
.∴FG∥B′C∥BC.
又∵EG∩FG=G,AB∩BC=B,
∴平面EFG∥平面ABCD.
又EF
平面EFG,∴EF∥平面ABCD.
(2)证明:(由线线平行证面面平行)
如图2-2-28,∵在正方体ABCD—A′B′C′D′中,AD′∥BC′,CD′∥BA′,
图2-2-28
又AD′∩CD′=D′,BC′∩BA′=B,
∴平面ACD′∥平面A′BC′.