(1)当b＞0时,若对任意x∈R都有f(x)≤1,证明
;
(2)当b＞1时,证明对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤
;
(3)当0＜b≤1时,讨论:对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要条件.
(1)当b＞0时,若对任意x∈R都有f(x)≤1,证明;
(2)当b＞1时,证明对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤;
(3)当0＜b≤1时,讨论:对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要条件.
(1)证明
:依题意知,对任意x∈R,都有f(x)≤1.∵,∴.
∵a＞0,b＞0,∴
.
(2)证明
:必要性:对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1
f(x)≥-1,∴f(1)≥-1,即a-b≥-1.∴a≥b-1.
对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1
f(x)≤1,
∵b＞1,可以推出
,
即
,∴
.∴b-1≤a≤
.
充分性:∵b＞1,a≥b-1,对任意x∈［0,1］,可以推出ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1,即ax-bx2≥-1.
∵b＞1, 
.对任意x∈［0,1］,可以推出ax-bx2≤
x-bx2≤1,
即ax-bx2≤1.∴-1≤f(x)≤1.
综上,当b＞1时,对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤
.
(3)解
:∵a＞0,0＜b≤1时,对任意x∈［0,1］,有f(x)=ax-bx2≥-b≥-1,即f(x)≥-1.
f(x)≤1
f(1)≤1
a-b≤1,即a≤1+b.
a≤1+b
f(x)≤(1+b)x-bx2≤1,即f(x)≤1.
∴当a＞0,0＜b≤1时,对任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要条件是a≤1+b.
启示
:本题主要考查二次函数、不等式、充要条件的综合应用,考查分类讨论思想和逻辑推理能力以及思维能力.