（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；
（Ⅲ）求点C到平面APB的距离.
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；
（Ⅲ）求点C到平面APB的距离.
解法一：
(I)取AB中点D，连结PD，CD.
∵AP=BP，
∴PD⊥AB.
∵AC=BC,
∴CD⊥AB.
∵PD∩CD=D,
∴AB⊥平面PCD.
∵PC∩平面PCD.
∴PC⊥AB.
（Ⅱ）∵AC=BC，AP＝BP，
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC.
∴PC⊥BC.
又∠ACB=90°,即AC⊥BC.
且AC∩PC＝C,
∴BC⊥平面PAC.
取AP中点E，连结BE，CE.
∵AB＝BP，
∴BE⊥AP.
∵EC是BE在平面PAC内的射影.
∴CE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
在△BCE中，∠BCE＝90°，BC＝2，BE＝
AB＝
，
∴sin∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为 aresin
(Ⅲ)由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD，
∴平面APB⊥平面PCD.
过C作CH⊥PD，垂足为H.
∵平面APB∩平面PCD＝PD，
∴CH⊥平面APB.
∴CH的长即为点C到平面APB的距离，
由（Ⅰ）知PC⊥AB，又PC⊥AC，
且AB∩AC＝A.
∴PC⊥平面ABC.
∵CD
平面ABC.
∴PC⊥CD.
在Rt△PCD中，CD＝
∴PC＝
∴CH=
∴点C到平面APB的距离为
解法二：
（Ⅰ）∵AC＝BC，AP＝BP，
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC.
∴PC⊥BC.
∵AC∩BC＝C，
∴PC⊥平面ABC.
∵AB
平面ABC，
∴PC⊥AB.
（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.
则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.
设P（0，0，t）.
∵｜PB｜＝｜AB｜＝2
，
∴t＝2，P（0，0，2）.
取AP中点E，连结BE，CE.
∵｜AC｜＝｜PC｜，｜AB｜＝｜BP｜,
∴CE⊥AP，BE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
∵E（0，1，1），
∴cos∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为arccos
（Ⅲ）∵AC=BC=PC，
∴C在平面APB内的射影为正△APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离.
如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C-xyZ.
∵
∴点H的坐标为（
）.
∴
∴点C到平面APB的距离为