如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB，点E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长．
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB，点E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长．
(1)证明：如解图①，连接OD，
第7题解图①
则∠DOB＝2∠DCB，
又∵∠A＝2∠DCB，
∴∠A＝∠DOB，
又∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠DOB＋∠B＝90°，
∴∠BDO＝90°，
即OD⊥AB，
又∵OD是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：如解图②，过点O作OM⊥CD于点M，连接DE，
第7题解图②
∵OD＝OE＝BE＝
BO，∠BDO＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∴∠DCB＝30°，
∴OC＝2OM＝2，
∴OD＝2，
∴BD＝ODtan60°＝2
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