（本题满分12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB
（本题满分12分）如图，在Rt△
ABC中，∠
ACB=90°，以
AC为直径的⊙
O与
AB边交于点
D，过点
D作⊙
O的切线，交
BC于点
E.
【小题1】（1）求证：点
E是边
BC的中点；（4分）
【小题2】（2）若
EC=3，
BD=
，求⊙
O的直径
AC的长度；（4分）
【小题3】（3）若以点
O，
D，
E，
C为顶点的四边形是正方形，试判断△
ABC的形状，并说明理由. （4分）
【小题1】（1）证明：连接
DO，
∵∠
ACB=90°，
AC为直径， ∴
EC为⊙
O的切线，
又∵
ED也为⊙
O的切线， ∴
EC=
ED. （2分）
又∵∠
EDO=90°， ∴∠
BDE+∠
ADO=90°，
∴∠
BDE+∠
A=90°，
又∵∠
B+∠
A=90° ∴∠
BDE=∠
B， ∴
EB=
ED.
∴
EB=
EC，即点
E是边
BC的中点.
【小题2】（2）∵
BC，
BA分别是⊙
O的切线和割线，
∴
BC2=
BD·
BA， ∴（2
EC）
2=
BD·
BA，即
BA·
=36，∴
BA=
， （6分）
在Rt△
ABC中，由勾股定理得
AC=
=
=
.
【小题3】（3）△
ABC是等腰直角三角形. （9分）
理由：∵四边形
ODEC为正方形， ∴∠
DOC=∠
ACB=90°，即
DO∥
BC，
又∵点
E是边
BC的中点， ∴
BC=2
OD=
AC,
∴△
ABC是等腰直角三角形. （12分）解析:
略
