如图,在三棱柱ABC
A1B1C1中,已知BC=1,BB1=2,∠BCC1=90°,AB⊥侧面BB1C1C.
(1)求直线C1B与底面ABC所成角的正弦值;
(2)在棱CC1(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置,使得EA⊥EB1(要求说明理由).
如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,已知BC=1,BB1=2,∠BCC1=90°,AB⊥侧面BB1C1C.
(1)求直线C1B与底面ABC所成角的正弦值;
(2)在棱CC1(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置,使得EA⊥EB1(要求说明理由).
解:法一 (1)∵AB⊥侧面BB1C1C,CC1⊂面BB1C1C,
∴AB⊥C1C,
又CC1⊥CB且CB∩AB=B,
∴CC1⊥平面ABC,
∴∠C1BC为直线C1B与底面ABC所成角.
Rt△CC1B中,BC1=1,CC1=2,
则BC1=
.
∴sin ∠C1BC=
=
.
∴直线C1B与底面ABC所成角的正弦值为.
(2)取CC1的中点F,连接B1F,BF.
矩形BCC1B1中,BF=B1F=
,BB1=2,
∴BF⊥B1F,
又∵AB⊥B1F,
∴B1F⊥平面ABF,
∴B1F⊥AF.
故当E与F重合,即E为CC1的中点时有EA⊥EB1.
法二 如图,以B为原点建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),C1(1,2,0),B1(0,2,0)
(1)直三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC的法向量
=(0,2,0),
又
=(1,2,0),
设BC1与平面ABC所成角为θ,
则sin θ=|cos<,>|=
=.
∴直线C1B与底面ABC所成角的正弦值为.
(2)设E(1,y,0),A(0,0,z),
则
=(-1,2-y,0),
=(-1,-y,z).
∵EA⊥EB1,
∴·=1-y(2-y)=0.
∴y=1,
即E(1,1,0).
∴E为CC1的中点.