已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B

已知抛物线y＝ax²+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；

（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝3，

∴﹣＝3，解得a＝﹣，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x²+x+4．

当y＝0时，﹣x²+x+4＝0，解得x₁＝﹣2，x₂＝8，

∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．

答：抛物线的解析式为：y＝﹣x²+x+4；点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．

（2）当x＝0时，y＝﹣x²+x+4＝4，

∴点C的坐标为（0，4）．

设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（8，0），C（0，4）代入y＝kx+b得

，解得，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．

假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，

设点P的坐标为（x，﹣x²+x+4），如图所示，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），

则PD＝﹣x²+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x²+2x，

∴S_{四边形PBOC}＝S_△BOC+S_△PBC

＝×8×4+PD•OB

＝16+×8（﹣x²+2x）

＝﹣x²+8x+16

＝﹣（x﹣4）²+32

∴当x＝4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是32

∵0＜x＜8，

∴存在点P（4，6），使得四边形PBOC的面积最大．

答：存在点P，使四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为（4，6），四边形PBOC面积的最大值为32．

（3）设点M的坐标为（m，﹣++4）则点N的坐标为（m，﹣），

∴MN＝|﹣++4﹣（﹣）|＝|﹣+2m|，

又∵MN＝3，

∴|﹣+2m|＝3，

当0＜m＜8时，﹣+2m﹣3＝0，解得m₁＝2，m₂＝6，

∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）；

当m＜0或m＞8时，﹣+2m+3＝0，解得m₃＝4﹣2，m₄＝4+2，

∴点M的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．

答：点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．