已知椭圆C：
＋
＝1 (a>b>0)的两焦点在x轴上，且短轴的两个顶点与其中一个焦点的连线构成斜边为2的等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)动直线l:
交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
已知椭圆C：＋＝1 (a>b>0)的两焦点在x轴上，且短轴的两个顶点与其中一个焦点的连线构成斜边为2的等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)动直线l:交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
解 (1)∵椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线构成等腰直角三角形，
∴b＝c. ……………1分
又斜边长为2，即2b＝2，故c＝b＝1，a＝
，………………………3分
椭圆方程为
＋y2＝1. ………………………4分
(2)由题意可知该动直线过定点
,当l与x轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为
；当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.
由
故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q(0,1). ………………………6分
下面证明Q(0,1)为所求：
若直线l的斜率不存在，上述已经证明.
若直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx－
，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，………………………7分
Δ＝144k2＋64(9＋18k2)>0，
＝(x1，y1－1)，
＝(x2，y2－1)，
·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝(1＋k2)x1x2－
(x1＋x2)＋
＝(1＋k2)·
＋＝0，………………………10分
∴⊥，即以线段AB为直径的圆恒过点Q(0,1). ………………………12分