设
是定义在[-1，1]上的偶函数，
的图象与的图象关于直线
对称，
且当x∈[ 2，3 ] 时，
．
（1）求的解析式；
（2）若在
上为增函数，求
的取值范围；
（3）是否存在正整数，使的图象的最高点落在直线
上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
设是定义在[-1，1]上的偶函数，的图象与的图象关于直线对称，
且当x∈[ 2，3 ] 时， ．
（1）求的解析式；
（2）若在上为增函数，求的取值范围；
（3）是否存在正整数，使的图象的最高点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，f(x)=g(2-x)= -2ax+4x3；当x∈
时，f(x)=f(-x)=2ax-4x3，
∴
………………………………………4分
（2）由题设知，
＞0对x∈恒成立，即2a-12x2＞0对x∈恒成立，于是，a＞6x2，从而a＞(6x2)max=6．………………………8分
（3）因f(x)为偶函数，故只需研究函数f(x)=2ax-4x3在x∈的最大值．
令=2a-12x2=0，得
．…10分 若
∈
，即0＜a≤6，则
，
故此时不存在符合题意的
；
若＞1，即a＞6，则
在上为增函数，于是
．
令2a-4=12，故a=8． 综上，存在a = 8满足题设．………………14分