已知：菱形
和菱形
，
，起始位置点
在边
上，点
在所在直线上，点在点的右侧，点
在点
的右侧，连接
和
，将菱形以为旋转中心逆时针旋转
角（
）．
（1）如图1，若点与重合，且
，求证：
；
（2）若点与不重合，
是上一点，当
时，连接
和
，和所在直线相交于点
；
①如图2，当时，请猜想线段和线段的数量关系及
的度数；
②如图3，当
时，请求出线段和线段的数量关系及的度数；
③在②的条件下，若点与的中点重合，
，
，在整个旋转过程中，当点与点重合时，请直接写出线段的长．
（1）见详解；（2）①A′C＝
BM，∠BPC＝45°；②A′C＝
BM，∠BPC＝30°；③1＋
．
【解析】
（1）证明△ADD′≌△BAB′（SAS）可得结论；
（2）①证明△AA′C∽△MAB，可得结论；
②证明方法类似①，即证明△AA′C∽△MAB即可得出结论；
③求出A′C，利用②中结论计算即可．
【详解】
（1）证明：如图1，在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∵∠BAD＝∠B′A′D′＝90°，
∴四边形ABCD，四边形A′B′CD′都是正方形，
∵∠DAB＝∠D′AB′＝90°，
∴∠DAD′＝∠BAB′，
∵AD＝AB，AD′＝AB′，
∴△ADD′≌△BAB′（SAS），
∴DD′＝BB′；
（2）①解：如图2中，结论：A′C＝BM，∠BPC＝45°；
理由：设AC交BP于O，
∵四边形ABCD，四边形A′B′CD′都是正方形，
∴∠MA′A＝∠DAC＝45°，
∴∠A′AC＝∠MAB，
∵MA′＝MA，
∴∠MA′A＝∠MAA′＝45°，
∴∠AMA′＝90°，
∴AA′＝AM，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∵AC＝AB，
∴
=，
∵∠A′AC＝∠MAB，
∴△AA′C∽△MAB，
∴
=，∠A′CA＝∠ABM，
∴A′C＝BM，
∵∠AOB＝∠COP，
∴∠CPO＝∠OAB＝45°，即∠BPC＝45°；
②解：如图3中，设AC交BP于O，
在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∵∠BAD＝∠B′A′D′＝60°，
∴∠C′A′B′＝∠CAB＝30°，
∴∠A′AC＝∠MAB，
∵MA′＝MA，
∴∠MA′A＝∠MAA′＝30°，
∴AA′＝AM，
在△ABC中，∵BA＝BC，∠CAB＝30°，
∴AC＝AB，
∴=，
∵∠A′AC＝∠MAB，
∴△A′AC∽△MAB，
∴=，∠ACA′＝∠ABM，
∴A′C＝BM，
∵∠AOB＝∠COP，
∴∠CPO＝∠OAB＝30°，即∠BPC＝30°；
③如图4中，过点A作AH⊥A′C于H，
由题意AB＝BC＝CD＝AD＝2，可得AC＝AB＝2，
在Rt△A′AH中，A′H＝
AA′＝1，A′H＝AH＝，
在Rt△AHC中，CH＝
=
=
，
∴A′C＝A′H＋CH＝＋，
由②可知，A′C＝BM，
∴BM＝1＋．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．