已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.
(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若方程f(x)＝(a2－3)x－1(a>0)至多有两个解，求实数a的取值范围．
已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.
(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若方程f(x)＝(a2－3)x－1(a>0)至多有两个解，求实数a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x2－2ax－3≥0，∵x≥1，∴a≤
(x－
)．
当x≥1时，(x－)是增函数，其最小值为(1－1)＝0，∴a≤0.
(2)令h(x)＝f(x)－(a2－3)x＋1，h′(x)＝3x2－2ax－a2＝0，
得x＝a或x＝－
，∵a>0，∴有
| x | (－∞，－ | － | (－ | a | (a，＋∞) |
| h′(x) | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
| h(x) |
|
|
| －a3＋1 |
|
∴x＝－时h(x)有极大值，h(x)极大值＝h(－)＝
a3＋1.
x＝a时h(x)有极小值，h(x)极小值＝h(a)＝－a3＋1，
∵若方程f(x)＝(a2－3)x－1(a>0)至多有两个解，
∴h(a)≥0或h(－)≤0，
∴－a3＋1≥0或a3＋1≤0(舍)，解得0<a≤1.
