设Sn是数列{an}的前n项和,an>0,且4Sn=an(an+2). (1)求数列{an}的通项公式;

设S_n是数列{a_n}的前n项和,a_n>0,且4S_n=a_n(a_n+2).

(1)求数列{a_n}的通项公式;

(2)设b_n=,T_n=b₁+b₂+…+b_n,求证:T_n<.

答案

(1)解4S_n=a_n(a_n+2),①

当n=1时,4a₁=+2a₁,即a₁=2.

当n≥2时,4S_n-₁=a_n-₁(a_n-₁+2). ②

由①-②得4a_n=+2a_n-2a_n-₁,即2(a_n+a_n-₁)=(a_n+a_n-₁)·(a_n-a_n-₁).

∵a_n>0,∴a_n-a_n-₁=2,

∴a_n=2+2(n-1)=2n.

(2)证明∵b_n=

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1-+…+1-<

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