已知函数f(x)＝ax3－x2＋cx(a≠0)的图像如下所示，它与x轴仅有两个交点O(0,0)和A(xA,0)(xA>0)．
(1)证明：常数c≠0；
(2)如果xA＝
，求函数f(
x)的解析式．
已知函数f(x)＝ax3－x2＋cx(a≠0)的图像如下所示，它与x轴仅有两个交点O(0,0)和A(xA,0)(xA>0)．
(1)证明：常数c≠0；
(2)如果xA＝，求函数f(x)的解析式．
解析 (1)反证法：假设c＝0，则y＝x2(ax－1)．
∴xA＝
>0.
当x>xA时，f(x)>0；当x<xA时，f(x)<0.这与图像所给的当0<x<xA时f(x)>0矛盾，∴c≠0.
(2)f(x)＝x(ax2－x＋c)．
∵函数的图像与x轴有且仅有两个公共点，
∴ax2－x＋c＝0有两个相等的实数根x＝.
∴＝＋＝1且Δ＝1－4ac＝0，解得
故所求函数为f(x)＝x3－x2＋
x.