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图2-2-4
(1)求证:AO⊥平面BCD;
(2)求异面直线AB与CD所成角的大小;
(3)求点E到平面ACD的距离.
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图2-2-4
(1)求证:AO⊥平面BCD;
(2)求异面直线AB与CD所成角的大小;
(3)求点E到平面ACD的距离.
思路分析
:本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.
(1)证明
:连结OC.∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD.
∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.
在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=.
而AC=2,∴AO2+CO2=AC2.
∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.
∵BD∩OC=O,∴AO⊥平面BCD.
(2)解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC.
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.
在△OME中,EM=
AB=
,OE=
DC=1,
∵OM是Rt△AOC斜边AC上的中线,∴OM=
AC=1.
∴cos∠OEM=
.∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos
.
(3)解:设点E到平面ACD的距离为h,
∵VE—ACD=VA—CDE,∴
h·S△ACD=
·AO·S△CDE.
在△ACD中,CA=CD=2,AD=
,
∴S△ACD=
×
×
.
而AO=1,S△CDE=
×
×22=
,
∴h=AO·
.
∴点E到平面ACD的距离为
.