已知函数
.
（Ⅰ）求函数
的极大值.
（Ⅱ）求证：存在
，使
；
（Ⅲ）对于函数
与
定义域内的任意实数x，若存在常数k,b,使得
和
都成立，则称直线
为函数与的分界线.试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请给予证明，并求出k,b的值；若不存在，请说明理由.
已知函数.
（Ⅰ）求函数的极大值.
（Ⅱ）求证：存在，使；
（Ⅲ）对于函数与定义域内的任意实数x，若存在常数k,b,使得和都成立，则称直线为函数与的分界线.试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请给予证明，并求出k,b的值；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）
……………………………………（1分）
令
解得
令
解得
.……………………………………………………（2分）
∴函数在（0,1）内单调递增，在
上单调递减. ……………（3分）
所以的极大值为
…………………………………………（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在（0,1）内单调递增，在上单调递减，
令
∴
………………………………………………（5分）
取
则
………………………………（6分）
故存在
使
即存在
使
………………………………………………（7分）
（说明：
的取法不唯一，只要满足
且
即可）
（Ⅱ）设
则
则当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数单调递增.
∴
是函数的极小值点，也是最小值点,
∴
∴函数与的图象在处有公共点（
）.………（9分）
设与存在“分界线”且方程为
，
令函数
①由≥
，得
在
上恒成立，
即
在上恒成立，
∴
，
即
，
∴
，故
………………………………………（11分）
②下面说明：
，
即
恒成立.
设
则
∵当时，
,函数
单调递增，
当时，
,函数单调递减，
∴当时，取得最大值0，
.
∴成立.………………………………………（13分）
综合①②知
且
故函数与存在“分界线”
，
此时
…………………………………………………（14分）