如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx﹣4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当点P的坐标为（﹣4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；
（3）点M、N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M、N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．
①连接AN，当△AMN的面积最大时，求t的值；
②线段PQ能否垂直平分线段MN？如果能，请求出此时直线PQ的函数关系式；如果不能请说明你的理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用交点式求出抛物线的解析式；
（2）证明四边形POQC是平行四边形，则结论得证；
（3）①求出△AMN面积的表达式，利用二次函数的性质，求出△AMN面积最大时t的值．注意：由于自变量取值范围的限制，二次函数并不是在对称轴处取得最大值；
②直线PQ上的点到∠AQC两边的距离相等，则直线PQ能平分∠AQC，所以直线PQ能垂直平分线段MN．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x+1），
∵抛物线经过点C（0，3），
∴3=a×3×1，解得a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x+3）（x+1）=x2+4x+3；
（2）证明：当x=﹣4时，y=3，
∴P（﹣4，3），
∵C（0，3），
∴PC=4且PC∥x轴，
∵一次函数y=kx﹣4k（k≠0）的图象交x轴于点Q，当y=0时，x=4，
∴Q（4，0），即OQ=4，
∴PC=OQ，又∵PC∥x轴，
∴四边形POQC是平行四边形，
∴∠OPC=∠AQC；
（3）①过点N作ND⊥x轴于点D，则ND∥y轴．
∴△QND∽△QCO
∴
=
，
在Rt△OCQ中，
CQ=
=
=5，
∴
=
，
∴ND=
（5﹣t），
∴S△AMN=
AM•ND=•3t•（5﹣t）=﹣
（t﹣
）2+
，
∵0≤x≤
，
∴当t=
时，△AMN的面积最大；
②能．假设PQ垂直平分线段MN，则QM=NQ，
∴7﹣3t=5﹣t，
∴t=1．此时AM=3，
即点M与点O重合，QM=NQ=4．
如图，设PQ交y轴于点E，
∵∠MND=90°﹣∠NMD=∠MQE，
∴Rt△MND∽Rt△EQM，
∴
=
．
∵ND=
，DQ=
，
∴MD=
，∴MD=
．
∴E（0，），
∵Q（4，0），
∴直线QE为y=﹣
x+
．
即直线PQ为y=﹣
x+．
【点评】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、相似三角形、平行四边形、角平分线的性质、二次函数的最值等知识点．试题难度不大，需要注意的是（3）①问中，需要注意在自变量取值区间上求最大值，而不能机械地套用公式．