已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边

已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为4．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点B（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

【分析】（1）由题意列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．

（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=0，|EF|=2，点B在椭圆内，由，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出m的取值范围．

【解答】解：（1）由题意，得，

又∵a²=b²+c²，解得a=，b=1，c=1，

∴椭圆C的方程为．

（2）当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=0，

此时，E，F为椭圆的上下顶点，且|EF|=2，

∵点D总在以线段EF为直径的圆内，且m＞0，

∴0＜m＜1，∴点B在椭圆内，

由方程组，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²﹣2=0，

∵直线l与椭圆C有两个公共点，

∴△=（4km）²﹣4（2k²+1）（2m²﹣2）＞0，

设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则，，

设EF的中点G（x₀，y₀），

则，，

∴G（，），

∴|DG|==，

|EF|==，

∵点D总位于以线段EF为直径的圆内，

∴|DG|＜对于k∈R恒成立，

∴，

化简，得2m²k²+7m²k²+3m²＜2k⁴+3k²+1，

整理，得，

而g（k）==1﹣≥1﹣=，

当且仅当k=0时，等号成立，

∴m²，由m＞0，．解得0＜m＜，

∴m的取值范围是（0，）．