已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在

已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC．

（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；

（2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；

（3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=a，BP=b，求a：b及∠AEC的度数．

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）根据正方形的性质证明△APE≌△CFE，可得结论；

（2）分别证明∠PAE=45°和∠BAC=45°，则∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；

（3）分别计算PG和BG的长，利用平行线分线段成比例定理列比例式得：，即，

解得：a=b，得出a与b的比，再计算GH和BG的长，根据角平分线的逆定理得：∠HCG=∠BCG，由平行线的内错角得：∠AEC=∠ACB=45°．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，

∴AB=BC，BP=BF，

∴AP=CF，

在△APE和△CFE中，

∵，

∴△APE≌△CFE，

∴EA=EC；

（2）△ACE是直角三角形，理由是：

如图2，∵P为AB的中点，

∴PA=PB，

∵PB=PE，

∴PA=PE，

∴∠PAE=45°，

又∵∠BAC=45°，

∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；

（3）设CE交AB于G，

∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，

∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a，

∵PE∥CF，

∴，即，

解得：a=b，

∴a：b=：1，

作GH⊥AC于H，

∵∠CAB=45°，

∴HG=AG=（2b﹣2b）=（2﹣）b，

又∵BG=2b﹣a=（2﹣）b，

∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，

∴∠HCG=∠BCG，

∵PE∥CF，

∴∠PEG=∠BCG，

∴∠AEC=∠ACB=45°．