-2lnx，f(1)=0.（1）若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（2）若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0，且an+1=f′
-n2+1，
已知a1=4，求证：an≥2n+2.
-2lnx，f(1)=0.（1）若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（2）若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0，且an+1=f′-n2+1，
已知a1=4，求证：an≥2n+2.
解;（1）f(1)=a-b=0a=b,
∴f(x)=ax--2lnx.
∴f′(x)=a+
-2x.
要使函数f(x)在定义域(0,+∞)内为单调函数，
则在(0,+∞)内f′(x)恒大于0或恒小于0，
当a=0时，f′(x)=-
＜0在（0,+∞）内恒成立；
当a＞0时，要使f′(x)=a(
-
)2+a-
＞0恒成立，则a-
＞0，解得a＞1;
当a＜0时,要使f′(x)=a(
-
)2+a-
恒成立，则a-
＜0，解得a＜-1.
所以a的取值范围为a＞1或a＜-1或a=0.
（2）根据题意得f′(1)=0,即a+a-2=0,得a=1,∴f′(x)=(
-1)2.
于是an+1=f′
-n2+1=（an-n）2-n2+1=an2-2nan+1.
用数学归纳法证明如下：
当n=1时，a1=4≥2×1+2，不等式成立；
假设当n=k时，不等式ak≥2k+2成立，即ak-2k≥2也成立，
当n=k+1时，ak+1=ak (ak-2k)+1≥(2k+2)×2+1=4k+5＞2(k+1)+2.
所以当n=k+1，不等式也成立.
综上得对所有n∈N*时，都有an≥2n+2.