首页 / 在如图所示的长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点.求:(1)

在如图所示的长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点.求:(1)

在如图所示的长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点.求:

(1)直线AE与平面A1ED1所成的角;

(2)异面直线A1E与AC1所成的角.

答案

解:(1)以D为坐标原点,分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴正方向,建立空间坐标系,得相关点的坐标为A1(1,0,2),E(1,1,1),A(1,0,0),C1(0,1,2),D1(0,0,2).

∴=(0,1,1),=(0,1,-1), =(1,1,-1)·=0,·=0.

∴⊥, ⊥,即AE⊥A1E,AE⊥D1E.

∴AE⊥平面A1ED1,即AE与平面A1ED1成90°角.

另解:∵A1D1⊥面ABB1A1,

∴D1A⊥AE.

又∵AE==A1E,A1A=2,

∴A1A2=AE2+A1E2.

∴A1E⊥AE.∴AE⊥平面A1ED1.

∴AE与平面A1ED1所成角为.

(2)易得=(-1,1,2),设与所成角为θ.

cosθ=＜0.

∴异面直线A1E与AC1所成角为arccos.

另解:延长B1B到M,使BM=BE,连结AM,则AM∥A1E,

∴∠MAC1为异面直线A1E与AC1所成的角的补角.在△AMC1中,AM=,AC1=,C1M=.

∴cos∠MAC1=.

∴异面直线A1E与AC1所成的角为arccos.

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